福建师范大学《高等数学(二)》期末考试必备题集

奥鹏期末考核

17401–福建师范大学《高等数学(二)》奥鹏期末考试题库合集

单选题：
（1）函数的定义域是（）
A.
B.
C.或
D.或
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（2）函数定义域是（）
A.
B.
C.
D.
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（3）函数在点处的偏导数存在是函数在该点可微的（）
A.必要条件
B.充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
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（4）已知，则（）
A.
B.
C.
D.
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（5）设函数，则=（）
A.
B.
C.
D.
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（6）交换二次积分的积分次序( ）
A.
B.
C.
D.
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（7）二次积分的值等于( ）
A.
B.
C.
D.
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（8）设，其中D由直线及所围成的平面区域，则使的( ）
A.6
B.25
C.24
D.23
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（9）( ）
A.
B.
C.
D.
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（10）设, 则（）
A.
B.2
C.3
D.4
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（11）若区域，则二重积分化为二次积分正确的为（）.
A.；
B.；
C.；
D.
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（12）若区域，则（）.
A.0；
B.；
C.；
D.
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（13）若区域，则（）.
A.；
B.；
C.；
D.
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（14）设，则下列等式成立的是（）
A.
B.
C.
D.
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（15）函数在点的全微分=（）
A.
B.
C.
D.
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（16）设,则（）
A.
B.
C.
D.
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（17）函数的极小值为（）
A.1
B.0
C.2
D.3
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（18）设D是由直线、及所围成的闭区域，则（）
A.>
B.
C.
D.
E.
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（19）设为曲线则曲线积分（）.
A.;
B.8;
C.0;
D.4
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（20）设为两坐标轴和直线所围成的区域整个边界，沿逆时针方向，则曲线积分( ).
A.6;
B.12;
C.0;
D.
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（21）若则级数（　　）.
A.一定发散
B.一定收敛于０
C.一定收敛于
D.敛散性不能确定.
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（22）若级数收敛，则下列级数不收敛的是（　）.
A.
B.
C.
D.
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（23）下列级数中，收敛的是（　　）.
A.
B.
C.
D.
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（24）设为由和轴、轴组成的三角形闭路，则曲线积分( ）
A.
B.
C.
D.2
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（25）设为曲线，且从原点经过到为积分方向，则曲线积分( ）
A.
B.
C.4
D.3
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（26）若幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛半径为( ）
A.
B.
C.
D.
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（27）函数在点的邻域内幂级数展开式为( ）
A.
B.
C.
D.
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（28）函数在点的邻域内幂级数展开式为( ）
A.
B.
C.
D.
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（29）设，且收敛，常数，则级数（　　）.
A.绝对收敛;
B.条件收敛；
C.发散；
D.敛散性与有关.
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（30）若级数在处收敛，则该级数在处（）.
A.绝对收敛；
B.条件收敛；
C.发散；
D.敛散性不能确定
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（31）若级数在上收敛，则级数的收敛半径及级数的收敛区间分别为（）.
A.
B.
C.
D.
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（32）设则幂级数的收敛区间为（）.
A.
B.
C.
D.
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（33）幂级数的收敛区间为（）.
A.
B.
C.
D.
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（34）设为方程所确定的隐函数，则（）
A.
B.
C.
D.
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（35）设则（）
A.
B.
C.
D.
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（36）设，改变下列二次积分的积分次序：（）
A.
B.
C.
D.
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计算题：
（1）设，求
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（2）设是由确定的隐函数，求
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于是

（3）设函数具有连续的偏导数，而，求
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（4）计算，其中D是由曲线与围成的平面区域
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（5）计算其中D是由直线及围成的平面区域
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（6）计算，其中D是由曲线围成的平面区域
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解：

（7）计算，其中D是由曲线与围成的平面区域
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（8）计算二重积分，其中D为，
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（9）改变积分的积分次序
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,所以

（10）求
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（11）计算?其中L是抛物线上点与点之间的一段弧?
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因此

（12）计算曲线积分?其中?为螺旋线上相应于从到的一段弧?
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并且

（13）计算其中(1)抛物线上从到的一段弧?(2)抛物线上从到的一段弧?（3）从到?再到的有向折线段.
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(2)从0变到1?所以

(3)从0变到1?从0变到1?所以

（14）证明级数是收敛的?并估计以级数的部分和近似代替和所产生的误差?
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（15）若幂级数在处收敛.（1）讨论幂级数在处的敛散性？（2）幂级数在处敛散性如何？
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当时，；当时，
已知幂级数在处收敛，由阿贝尔定理知，它在内绝对收敛.
(1) ,幂级数在处绝对收敛，则原幂级数在处绝对收敛.
(2) ,幂级数在处的敛散性
不能确定，即原幂级数在处的敛散性不能确定.

（16）求幂级数的收敛半径与收敛域?
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当时?幂级数成为是收敛的?
当时?幂级数成为是发散的?因此?收敛域为

（17）求幂级数的和函数
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在的两边求导得

对上式从0到积奥鹏期末考核分得，于是?当时?有从而
?
由和函数在收敛域上的连续性?
综合起来得

（18）求级数的和?
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（19）求幂级数的收敛半径
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∵原级数 =
∴其收敛半径

（20）求幂级数的和函数
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根据幂级数性质，有

因此

（21）求幂级数的和函数
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原式