福建师范大学《近世代数》期末考试必备题集

奥鹏期末考核

11179–福建师范大学《近世代数》奥鹏期末考试题库合集

单选题：
（1）设，则 (　 )
A.
B.
C.
D.
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（2）的全体元素用循环置换的方法写出来就是（　）
A.(12),(23),(123),(132)
B.(1),(23),(123),(132)
C.(1),(12),(13),(23),(123),(132)
D.(1),(12),(23),(123),(132)
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（3）设，则（　）
A.
B.
C.
D.
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（4）对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射则=（　）
A.
B.
C.
D.
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（5）（　）
A.(12)(34)
B.(1234)
C.(123)(4)
D.(3)(124)
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（6）设(Z,+)是整数加群，，求[Z:H]=( )
A.2
B.3
C.4
D.5
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（7）设，则 ( )
A.
B.
C.
D.
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（8）设，则（）
A.>
B.
C.
D.
E.
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（9）对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射则=（）
A.
B.
C.
D.
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（10） ( )
A.（12）（34）
B.（1234）
C.（123）（4）
D.（3）（124）
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（11）的全体元素用循环置换的方法写出来就是（）
A.(12),(23),(123),(132)
B.(1),(23),(123),(132)
C.(1),(12),(23),(123),(132)
D.(1),(12),（13），(23),(123),(132)
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（12）在整环Z中，6的真因子是（）
A.
B.
C.
D.
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判断题：
（1）对称群一定不是交换群
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（2）子群关于同一元素的左陪集与右陪集可能相等。
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（3）已知是6阶群，则可能存在4阶子群。
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（4）设是有单位元的交换环，是的理想，则是域。
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（5）环中理想的和还是理想。
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（6）4元置换（1243）是偶置换
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（7）有单位元的环中所有非零元全体可构成一个群。
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（8）每一个n元置换表示成对换乘积的对换个数奇偶性不变
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（9）设和都是非空集合，而是到的一个映射，那么元的象不唯一。
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（10）设是的子群，若对于，，有，则是的正规子群。
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（11）整环中，既约元一定是素元
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（12）设是整数集，规定，证明：关于所定义的运算构成交换群
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（13）每一个n元置换都能写成若干个对换的乘积
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（14）主理想环一定是欧氏环
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（15）已知是8阶群，则可能存在5阶子群
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（16）对称群中置换（1345）是偶置换。
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（17）群中指数为2的子群一定是正规子群。
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（18）已知是有限群的子群，和分别表示和的元素个数，则定能整除。
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（19）设是有单位元的交换环，是的极大理想，则是域。
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（20）环中极大理想的和还是极大理想。
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（21）群关于子群的左陪集和右陪集个数不一定相等。
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（22）剩余类加群Z12有6个生成元。
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（23）设是整数集，规定，则关于所定义的运算构成交换群。
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（24）整数集 QUOTE ，按通常数的减法“-”运算，构成半群。
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（25）两个左陪集的乘积是左陪集。
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填空题：
（1）每一个n元置换都能写成##对换的乘积。
1、
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（2）4元置换（1243）是##。
1、
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（3）设，则 ## 。
1、
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（4）的全体元素用循环置换的方法写出来就是##。
1、
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问答题：
（1）设为素数，证明：（1）对 QUOTE ，总有；（2）域 QUOTE 中全部元是方程的全部根。
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对任意的整除，因此若为奇数，结论显然成立；若为2，则，结论也成立。
（2）域 QUOTE 中非零元全体构成乘法群 QUOTE ，其阶为
故对任意的从而即是方程的全部根。而也是方程的全部根。因此域 QUOTE 中全部元是方程的全部根。

（2）设是交换群.证明: 中所有阶数有限的元素的集合按的运算构成的正规子群
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再证.奥鹏期末考核这就证明了是的正规子群.

（3）求出模剩余类环 QUOTE 的所有理想和所有极大理想。
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QUOTE 。
其中最大理想为
QUOTE

（4）若的所有理想都由一个元生成，称为主理想整环。设是主理想整环，都是的理想，如果对任意两个都有或,证明：是的理想.
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又对任意的，不妨设对任意的，
因此是的理想.